Logičke izjave i logičke funkcije

Ishodi

OŠ INF A.8.3. opisuje građu računalnih uređaja, objašnjava načine prijenosa podataka u računalu te analizira i vrednuje neka obilježja računala koja značajno utječu na kvalitetu rada samoga računala
OŠ INF A.8.4. prepoznaje i proučava interdisciplinarnu primjenu računalnoga razmišljanja analiziranjem i rješavanjem odabranih problema iz različitih područja učenja.
odr A.5.1. Kritički promišlja o povezanosti vlastitoga načina života s utjecajem na okoliš i ljude.
odr A.5.2. Analizira načela održive proizvodnje i potrošnje.
odr B.5.1. Kritički promišlja o utjecaju našega djelovanja na Zemlju i čovječanstvo.

Ciljevi učenja

• Naučiti što su logičke izjave i logičke funkcije.
• Primijeniti logičke funkcije u jednostavnim primjerima.
• Prepoznati važnost logičkog razmišljanja u svakodnevnom životu i radu s računalima.
• Razviti vještine analize i povezivanja informacija kroz rad s tablicama istinitosti.

UVOD

Jeste li se ikada zapitali zašto je logika važna? Kada donosite odluke, svaka odluka je rezultat nekakvog logičkog promišljanja. Npr., kada kažete: „Ako padne kiša, ponijet ću kišobran.“ To je logička izjava – tvrdnja koja može biti istinita ili lažna. Slične logičke izjave koristimo u radu s računalima.

Računala koriste logiku kako bi donosila odluke, rješavala probleme i izvodila složene zadatke. Stoga, želimo li razumjeti kako računala razmišljaju, moramo poznavati osnovne principe logičkih izjava i logičkih funkcija.

Zašto nam je to znanje potrebno?
Logičke funkcije omogućuju nam bolje razumijevanje kako računala obrađuju informacije i donose odluke. Takav način razmišljanja koristi se u matematici, fizici i raznim drugim znanstvenim disciplinama. Kada shvatimo osnove logike, postajemo bolji u rješavanju problema, donošenju odluka i analizi situacija.

GLAVNI DIO

Logičke izjave i logičke funkcije

Logička izjava je tvrdnja koja može biti istinita (True/1) ili lažna (False/0).
Primjer logičke izjave: „Danas je sunčano.“ Ako je istina da je danas sunčano, onda izjava ima vrijednost 1. Ako nije, vrijednost je 0.
Ili npr. „Nakon broja 2 slijedi broj 5.“ Ako je ta izjava istinita, onda izjava ima vrijednost 1. Ako nije, vrijednost je 0.

Logičke izjave često povezujemo logičkim funkcijama koje nam omogućuju da vidimo kako istinitost jedne izjave utječe na drugu. Npr., možemo koristiti logičku funkciju identiteta ili funkciju negacije da bismo izrazili složenije odnose između izjava.

Kako nam pomaže razumijevanje logičkih funkcija?
Zamislimo da razgovaramo o nekim tvrdnjama koje mogu biti istinite ili lažne. Npr.:

• „Vani pada kiša.“
• „Ja volim jesti čokoladu.“
• „2 + 2 je jednako 5.“

Svaka od ovih tvrdnji (ili rečenica) je logička izjava. Neke su istinite, a neke nisu. Prva je izjava istinita samo ako stvarno pada kiša. Druga izjava može biti istinita ili lažna, ovisno o tome voliš li ti jesti čokoladu ili ne. Treća je očito lažna, jer 2 + 2 nije jednako 5.

Sad, zamisli da želimo povezati te tvrdnje i saznati kako se jedna tvrdnja odnosi na drugu. U tome nam pomažu logičke funkcije.

Što su logičke funkcije?

Logičke funkcije povezuju dvije ili više logičkih izjava na način da se istinitost jedne izjave može ovisiti o istinitosti druge.

Koristeći logičke funkcije, možemo reći:

1. Ako pada kiša, ostat ću kod kuće.
2. Ako volim jesti čokoladu, neću jesti sladoled.

Što nam govore ove rečenice? Ako prva izjava „Pada kiša“ (A) bude istinita, onda je i izjava „Ostat ću kod kuće“ (B) istinita. Ali ako prva izjava „Pada kiša“ nije istinita (ne pada kiša), ne znamo hoćemo li ostati kod kuće ili ne – možda hoćemo, a možda nećemo.

To možemo prikazati pomoću jednostavnih simbola: 1 za istinitu tvrdnju i 0 za lažnu tvrdnju.

Postoji nekoliko osnovnih logičkih funkcija:

• logička funkcija identiteta,
• logička funkcija negacije,
• logička funkcija konjunkcije,
• logička funkcija disjunkcije.

Logička funkcija identiteta Funkcija identiteta znači da vrijednost tvrdnje ostaje ista. Dakle, nema promjene. Ako je prva izjava istinita i druga će biti istinita, a ako je prva izjava lažna i druga će biti lažna.
Npr., ako je varijabla A = 1, tada je i f(A) = 1. To znači da ako je izjava istinita, onda funkcija identiteta potvrđuje istinitost izjave.

Logička funkcija negacije (NOT/NE) Funkcija negacije vraća suprotnu vrijednost varijable. Ako je A = 1, tada f(A) = 0, i obratno.

Možemo li logičke izjave povezati?

U svakodnevnom životu često koristimo simbole poput <, >, = kada uspoređujemo brojeve. Npr., kada kažemo da je 5 veće od 3, koristimo znak > (veće od). No, ti se znakovi mogu koristiti i za uspoređivanje drugih vrsta informacija, kao što su dani u tjednu, slova abecede ili određene logičke izjave.

U informatici i matematici ti simboli imaju specifična značenja i pomažu nam u uspostavi odnosa između različitih vrijednosti. Evo pregleda najčešćih simbola i njihova značenja:

Primjeri uporabe znakova u različitim kontekstima

1. Uspoređivanje brojeva
   • Primjer: 3 < 5 (3 je manje od 5)
   • Objašnjenje: Koristimo znak < da izrazimo da je prvi broj manji od drugog.
2. Uspoređivanje dana u tjednu
   • Primjer: Ponedjeljak < Srijeda
   • Objašnjenje: Uspoređujemo dan Ponedjeljak s danom Srijeda i govorimo da Ponedjeljak „dolazi ispred“ Srijede u tjednu.
3. Uspoređivanje slova abecede
   • Primjer: A < B
   • Objašnjenje: Kažemo da slovo A prethodi slovu B u abecednom poretku.
4. Uspoređivanje logičkih izjava
   • Primjer: Ako tvrdnja A = „Pada kiša“ i tvrdnja B = „Nosim kišobran“, možemo reći:
     • A = B (Ako pada kiša, nosim kišobran – istinito)
     • A ≠ B (Pada kiša, ali ne nosim kišobran – lažno)

Kako čitati ove znakove?

• Kada uspoređujemo brojeve, koristimo ove simbole da kažemo koji je broj veći ili manji.
• Kada uspoređujemo dane u tjednu, koristimo ove simbole da pokažemo koji dan dolazi prije ili nakon drugog.
• Kada uspoređujemo slova abecede, govorimo o redoslijedu u kojem se slova pojavljuju.
• Kada uspoređujemo logičke izjave, ovi simboli nam govore jesu li dvije izjave jednake, različite ili kako se jedna izjava odnosi na drugu.

U ovom kontekstu, simbole možemo čitati i drukčije nego u matematici, posebno kad uspoređujemo tekstualne ili logičke podatke. Važno je razumjeti značenje svakog simbola kako bismo mogli točno interpretirati odnose između vrijednosti.

Kada spajamo dvije ili više izjava, koristimo konjunkciju (I) ili disjunkciju (ILI).

Logička funkcija konjunkcije (AND/I) Funkcija konjunkcije povezuje dvije izjave na način da je konačna izjava istinita samo ako su obje izjave istinite. Ova logička funkcija odgovara matematičkoj operaciji množenja (više o tome u sljedećoj nastavnoj jedinici).
Primjer: „Pročitat ću lektiru i pospremiti sobu.“ (Obje radnje moraju biti izvršene da bi izjava bila istinita.)

Logička funkcija disjunkcije (OR/ILI) Funkcija disjunkcije povezuje dvije izjave na način da je konačna izjava istinita ako je barem jedna od izjava istinita. Ova logička funkcija odgovara matematičkoj operaciji zbrajanja (više o tome u sljedećoj nastavnoj jedinici).
Primjer: „Pročitat ću lektiru ili pospremiti sobu.“ (Ako napravim jedno od toga, tvrdnja je istinita.)

Tablica istinitosti je alat koji se koristi za prikaz svih mogućih vrijednosti logičkih izjava i njihovih rezultata. Pomoću nje možemo vidjeti kako se kombinacije istinitih (1) i lažnih (0) vrijednosti različitih izjava (A, B, itd.) odražavaju na ukupni rezultat logičke funkcije (npr. konjunkcija, disjunkcija). Svaka kombinacija vrijednosti varijabli prikazana je red po red, što olakšava analizu složenih logičkih odnosa.
Rezultati odnosa u svim navedenim funkcijama prikazani su u tablici istinitosti.

Rješavanje zadatka. Primjer.

Kolika je vrijednost izraza (a<>b)  ILI  ((b<c)  ILI  (a>c)) ako su zadane vrijednosti varijabli a=3; b=5; c=7?

Logičke funkcije u svakodnevnom životu

Razmislimo o sljedećem primjeru: „Ako pada kiša, neću ići na igralište.“ Ovdje koristimo negaciju. Ili: „Ako pročitam lektiru i pospremim sobu, moći ću igrati video igre.“ Ovdje koristimo konjunkciju. Ovakve vrste izjava koristimo i u planiranju svojih aktivnosti.

U matematici i računalima, logičke funkcije koriste se za analizu podataka, rješavanje problema i donošenje odluka. Računala koriste logičke operacije za izvršavanje instrukcija i izračunavanje složenih funkcija.

Povezivanje logike s matematikom i informatikom

Svaka logička funkcija može se prikazati pomoću tablica istinitosti koje nam pokazuju kako se mijenjaju vrijednosti funkcije ovisno o vrijednostima njezinih argumenata. U matematici često koristimo ovakve tablice za analizu funkcija, a u računalima se koriste za donošenje odluka.

Računala koriste logičke operacije za izvršavanje instrukcija, što je osnova svakog računalnog programa. Tako logika postaje alat koji povezujemo s algoritmima i programiranjem.

Interdisciplinarna primjena logičkog razmišljanja

Osim što nam pomaže razumjeti kako računala rade, logika se koristi i u drugim disciplinama kao što su matematika, fizika i društvene znanosti. Logičke funkcije koristimo za analizu situacija, planiranje i donošenje odluka. Npr., kada planiramo ekološki projekt, koristimo logiku da analiziramo kako određena aktivnost utječe na okoliš.

---

Vježbe

Vježba 1: Nastavni listić

• Riješi zadatke.

---

Projektni zadatak – Razvijanje ekološkog projekta koristeći logičke funkcije

Grupni rad

Svaka grupa treba analizirati na koji način određena aktivnost (npr. recikliranje, korištenje javnog prijevoza) utječe na okoliš koristeći logičke funkcije.
Grupa treba prezentirati svoje rezultate pomoću tablica i grafikona.

Cilj projekta: Pomoću logičkih funkcija analizirati ekološke aktivnosti kao što su recikliranje, korištenje javnog prijevoza ili smanjenje upotrebe plastike te prikazati njihov utjecaj na okoliš.

Opis zadatka:

1. Podjela u grupe: Svaka grupa dobiva zadatak analizirati jednu ekološku aktivnost (npr. recikliranje).
2. Definiranje logičkih izjava: Grupa definira tvrdnje vezane za zadanu aktivnost. Npr.:
   • A: „Ljudi recikliraju.“
   • B: „Manje smeća završi na odlagalištima.“
3. Primjena logičkih funkcija:
   • Koristeći logičke funkcije (AND, OR, NOT), grupa povezuje izjave i izrađuje tablice istinitosti.
   • Npr.: „Ako ljudi recikliraju (A), onda manje smeća završi na odlagalištima (B).“
4. Izrada tablica i grafikona: Prikazati kako promjene u jednoj izjavi utječu na druge.
   • Primjer: Ako A = 1 (ljudi recikliraju), onda B = 1 (manje smeća na odlagalištima).
5. Prezentacija rezultata:
   • Grupa izlaže svoj projekt, prikazuje rezultate pomoću tablica i grafova te raspravlja o zaključcima.

Očekivani rezultati: Učenici će bolje razumjeti kako različite ekološke aktivnosti međusobno utječu te kako logičke funkcije pomažu u analizi stvarnih problema.

---

Zaključak

Kroz ovu lekciju naučili smo što su logičke izjave i logičke funkcije te kako se one primjenjuju u svakodnevnom životu, matematici i računalima. Razumijevanje logičkih izjava omogućuje nam da donosimo bolje odluke i analiziramo odnose između različitih tvrdnji. Npr., pomoću logičkih funkcija možemo predvidjeti što će se dogoditi ako se neka radnja izvrši ili ne izvrši.

Ovo znanje ne samo da nam pomaže razumjeti rad računala već nas uči kako logički razmišljati i donositi zaključke u svakodnevnim situacijama. Sposobnost kritičkog razmišljanja razvijena kroz logičke izjave može nam pomoći u različitim područjima – od rješavanja matematičkih zadataka do analiziranja stvarnih problema kao što su ekološke aktivnosti ili donošenje odluka u timu. Na taj način, logika postaje univerzalni alat koji koristi u mnogim životnim situacijama i zanimanjima.

---

ZAVRŠNI DIO

• Provjerite svoje znanje. – KAHOOT KVIZ
• dodatni digitalni sadržaji na e-Sfera
• Provjerite svoje znanje.

---

• Provjerite razinu razumijevanja gradiva – LISTIĆ ZA SAMOPROCJENU ZNANJA

PROVJERI SVOJE ZNANJE

1. Što su logičke izjave?
2. Kada neka izjava nije logička?
3. Što je logička varijabla?
4. Koju funkciju nazivamo funkcijom identiteta?
5. Kako nazivamo funkciju čija je vrijednost suprotna vrijednosti varijable?
6. Što je funkcija konjunkcije?
7. Što je tablica istinitosti?
8. Napiši tablicu istinitosti za funkciju negacije.
9. Kolika je vrijednost izraza (a<>b)  I  ((b<c)  ILI  (a>c)) ako su zadane vrijednosti varijabli a=3; b=5; c=7?